前幾日有朋友問(wèn)起一個(gè)問(wèn)題：如果把一顆完美的圓鐵球放在一塊完美的平面上，球與平面的接觸點(diǎn)是多大，它會(huì)是無(wú)限小嗎？
平面上的鐵球
這是個(gè)有趣的問(wèn)題。從數(shù)學(xué)上講，球體與平面相接觸它就是一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是一維的，表示無(wú)窮小。但實(shí)際上這不可能，因?yàn)闊o(wú)窮小的接觸面積意味著壓強(qiáng)無(wú)窮大。所以我們還是得從物理上來(lái)分析分析。
學(xué)過(guò)平面幾何的朋友都知道，當(dāng)一個(gè)圓與直線相切時(shí)，直線正好觸及圓周上的一個(gè)點(diǎn)。圓周上任意一個(gè)點(diǎn)與其左右相鄰的兩個(gè)點(diǎn)都不處于同一條直線上。
但是當(dāng)我們學(xué)到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，你只能在頭腦里“意會(huì)”圓與切線的關(guān)系，在紙上無(wú)論你怎么畫(huà)，圓與直線相接觸的都會(huì)是“一條線段”而不是一個(gè)點(diǎn)。
數(shù)學(xué)上的切線點(diǎn)需要“意會(huì)”
同樣在數(shù)學(xué)上，一個(gè)球體與平面相接觸，它們接觸的也必然只是一個(gè)點(diǎn)，如果你認(rèn)為那是一個(gè)面，說(shuō)明你的想象力不夠。
數(shù)學(xué)里許多最基礎(chǔ)的東西都需要靠我們發(fā)揮想象，一維的“點(diǎn)”、“線”以及二維的“面”在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在，至少在物理上你找不到絕對(duì)理想化的點(diǎn)線面，這些概念只是我們?yōu)榱朔奖阌?jì)算而創(chuàng)造出來(lái)。用筆在紙上戳一個(gè)點(diǎn)，或者畫(huà)一條線段，老師會(huì)教我們說(shuō)這是“點(diǎn)和線”，但你如果用放大鏡觀察它，便會(huì)發(fā)現(xiàn)那其實(shí)是一個(gè)墨跡留下的面；而要是將其放在顯微鏡下，你便能看到被染黑的纖維叢——它們既不是點(diǎn)線，也不是平面，而是“體”。
顯微鏡下鉛筆在紙面畫(huà)的線
在物理上，即便是最圓、最光滑、最完美的鐵球，它依然是由一堆鐵原子聚集在一起構(gòu)成的物體。常溫下，鐵原子之間通過(guò)共價(jià)鍵形成一個(gè)個(gè)體心立方晶體，進(jìn)而組合成鐵。
用最先進(jìn)的電子顯微鏡觀察鐵球，它的表面也不是光滑無(wú)暇，而是由鐵原子核外圍電子云簇?fù)碇纬傻囊粋€(gè)個(gè)“球”。
鐵球表面是緊密排列的原子
由此可見(jiàn)，我們認(rèn)為“最完美”的鐵球，在物理上也不完美，其表面并非我們想象的那么平滑，而是如同排列整齊的雞蛋一般。
這些由原子“蛋”排列而成的表面無(wú)論接觸到什么樣的平面，它們的接觸面必然不是一個(gè)“點(diǎn)”，而至少是“三個(gè)點(diǎn)”，因?yàn)閿?shù)學(xué)老師告訴我們只有三個(gè)點(diǎn)才能構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定的面。
鐵球真能以三個(gè)原子作為支撐點(diǎn)穩(wěn)定放置在一個(gè)平面上嗎？還是不行。因?yàn)楫?dāng)鐵球與地面接觸時(shí)，在引力的作用下，鐵球與地面接觸的地方會(huì)發(fā)生變形。
有朋友會(huì)說(shuō)，鐵很硬，我們用最硬的金剛石打造一個(gè)光滑平面，難道也會(huì)變形？當(dāng)然會(huì)。
鉆石表面是由晶胞構(gòu)成的平面
金剛石由碳原子組成，在金剛石晶體中，每4個(gè)碳原子構(gòu)成穩(wěn)定的四面體晶胞。即使將鉆石打磨得極其平整，物理結(jié)構(gòu)決定了其表面也是如雞蛋般交錯(cuò)排列的碳原子。
我們假設(shè)有一顆100克的鐵球，它只有三個(gè)原子與“光滑”金剛石地面接觸，計(jì)算一下接觸點(diǎn)的壓強(qiáng)。
鐵原子的共價(jià)半徑只有132pm【皮米，一萬(wàn)億分之一米】，三個(gè)鐵原子所構(gòu)成的平面面積大約為3.48×10^(-20)平方米，一顆100克的鐵球壓力為0.98牛頓，作用在接觸面的壓強(qiáng)達(dá)到2.8×10^(19)Pa，約相當(dāng)于2.78百萬(wàn)億個(gè)大氣壓！
在如此巨大的壓強(qiáng)下，鐵球表面迅速變形，金剛石與鐵球的接觸面也會(huì)發(fā)生凹陷，于是二者的接觸面積增大，直到壓強(qiáng)與鐵球自身的彈性模量（211GPa）平衡，這需要接觸面數(shù)以十億計(jì)的鐵原子共同支撐才行！
鐵球與地面接觸時(shí)會(huì)發(fā)生彈性變形
現(xiàn)在你應(yīng)該明白了：許多數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的概念在現(xiàn)實(shí)中并不存在對(duì)應(yīng)的物體；最完美的鐵球也是由原子構(gòu)成，它的表面不是絕對(duì)平滑；當(dāng)將鐵球放置在平坦表面，接觸面的原子會(huì)因巨大的壓強(qiáng)而移位，鐵球變形，地面也會(huì)發(fā)生凹陷。于是球體與地面之間不再是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)由原子交錯(cuò)咬合形成的圓形區(qū)域。
